Xan-Banax teoremi
== Teorem ==
Tutaq ki,
p
{\displaystyle p}
funksionalı
E
{\displaystyle E}
həqiqi xətti fəzasında təyin olunmuş bircins qabarıq funksional,
f
{\displaystyle f}
isə müəyyən
L
⊂
E
{\displaystyle L\subset E}
xətti altfəzasında təyin olunmuş və
istənilən
x
∈
L
{\displaystyle x\in L}
ünsürü üçün
f
(
x
)
≤
p
(
x
)
{\displaystyle f(x)\leq p(x)}
şərtini ödəyən həqiqi xətti funksionaldır. Onda
f
{\displaystyle f}
funksionalını
bütün
E
{\displaystyle E}
fəzasında təyin olunan və istənilən
x
∈
E
{\displaystyle x\in E}
ünsürü üçün
F
(
x
)
≤
p
(
x
)
{\displaystyle F(x)\leq p(x)}
şərtini ödəyən
F
{\displaystyle F}
həqiqi xətti funksionalına davam etdirmək olar.
== İsbatı ==
f
{\displaystyle f}
funksionalının hər bir
x
∈
D
(
f
′
)
{\displaystyle x\in D(f^{\prime })}
ünsürü üçün
f
′
(
x
)
≤
p
(
x
)
{\displaystyle f^{\prime }(x)\leq p(x)}
bərabərsizliyini ödəyən bütün
f
′
{\displaystyle f^{\prime }}
xətti davamları
çoxluğunu
F
p
{\displaystyle F_{p}}
ilə işarə edək. Burada
D
(
f
′
)
{\displaystyle D(f^{\prime })}
f
′
{\displaystyle f^{\prime }}
funksionalının
təyin oblastıdır.
f
1
′
,
f
2
′
∈
F
p
{\displaystyle f_{1}^{\prime },f_{2}^{\prime }\in F_{p}}
funksionallarından
f
2
′
{\displaystyle f_{2}^{\prime }}
funksionalı
f
1
′
{\displaystyle f_{1}^{\prime }}
-in davamı olduqda bunu
f
1
′
<
f
2
′
{\displaystyle f_{1}^{\prime }<f_{2}^{\prime }}
şəklində
ifadə edək. Onda
F
p
{\displaystyle F_{p}}
bu münasibətə nəzərən qismən nizamlanmış çoxluq olar. Əgər
F
p
′
{\displaystyle F_{p}^{\prime }}
-lə
F
p
{\displaystyle F_{p}}
-nin (xətti) nizamlanmış hissəsini işarə etsək,
⋃
f
′
∈
F
p
D
(
f
′
)
{\displaystyle \bigcup \limits _{f^{\prime }\in F_{p}}D(f^{\prime })}
çoxluğunda təyin olunan və hər bir
x
∈
D
(
f
′
)
{\displaystyle x\in D(f^{\prime })}
,
f
′
∈
F
p
′
{\displaystyle f^{\prime }\in F_{p}^{\prime }}
üçün
f
0
(
x
)
=
f
′
(
x
)
{\displaystyle f_{0}(x)=f^{\prime }(x)}
kimi verilən
f
0
{\displaystyle f_{0}}
funksionalı
F
p
′
{\displaystyle F_{p}^{\prime }}
çoxluğunun yuxarı sərhəddi olacaqdır. Bu da onu göstərir ki,
F
p
{\displaystyle F_{p}}
çoxluğu Sorn lemmasının şərtlərini ödəyir. Onda bu lemmaya görə
F
p
{\displaystyle F_{p}}
çoxluğu
F
{\displaystyle F}
maksimal ünsürünə malikdir. Asanlıqla görmək olar ki,
f
{\displaystyle f}
maksimal funksionalının təyin oblastı bütün
E
{\displaystyle E}
oblastı ilə üst-üstə düşür.