Elliptik inteqral
∫
R
(
x
,
P
(
x
)
)
d
x
{\displaystyle \int \limits _{}^{}R(x,{\sqrt {P(x)}})dx}
(1)
inteqralına baxaq.Burada
P
(
x
)
{\displaystyle P(x)}
dərəcəsi
n
⩾
3
{\displaystyle n\geqslant 3}
olan çoxhədlidir.
n
=
3
{\displaystyle n=3}
və
n
=
4
{\displaystyle n=4}
olduqda (1) şəklindəki inteqrallara
e
l
l
i
p
t
i
k
{\displaystyle elliptik}
inteqrallar,
n
⩾
5
{\displaystyle n\geqslant 5}
olduqda isə
h
i
p
e
r
e
l
l
i
p
t
i
k
{\displaystyle hiperelliptik}
inteqrallar deyiıir.Abel və Liuvill isbat etmişlər ki,elliptik inteqrallar, ümumiyyətlə, sonlu şəkildə hesablanmir.Göstərmək olar ki, (1) şəklindəki inteqrallar
n
=
3
{\displaystyle n=3}
və
n
=
4
{\displaystyle n=4}
olduqda hesablanan inteqrallar dəqiqliyi ilə aşağıdakı inteqrallardan birinə gətirilir ( burada
0
<
k
<
1
{\displaystyle 0<k<1}
parametrdir ) :
∫
d
x
(
1
−
x
2
)
(
1
−
k
2
x
2
)
{\displaystyle \int \limits _{}^{}{\tfrac {dx}{\sqrt {(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})}}}}
(2)
∫
x
2
d
x
(
1
−
x
2
)
(
1
−
k
2
x
2
)
{\displaystyle \int \limits _{}^{}{\tfrac {x^{2}dx}{\sqrt {(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})}}}}
(3)
∫
d
x
(
1
+
n
x
2
)
(
1
−
x
2
)
(
1
−
k
2
x
2
)
{\displaystyle \int \limits _{}^{}{\tfrac {dx}{\sqrt {(1+nx^{2})(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})}}}}
(4)
(2), (3) və (4) inteqrallarını əvəzləmələr vasitəsilə uyğun olaraq aşağıdakı inteqrallara gətirmək olar:
∫
d
φ
(
1
−
k
2
sin
2
φ
)
{\displaystyle \int \limits _{}^{}{\tfrac {d\varphi }{\sqrt {(1-k^{2}\sin ^{2}\varphi )}}}}
(5)
∫
1
−
k
2
sin
2
φ
)
d
φ
{\displaystyle \int \limits _{}^{}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi )}}d\varphi }
(6)
∫
d
φ
(
1
−
n
sin
2
φ
)
(
1
−
k
2
sin
2
φ
)
{\displaystyle \int \limits _{}^{}{\tfrac {d\varphi }{(1-n\sin ^{2}\varphi ){\sqrt {(1-k^{2}\sin ^{2}\varphi )}}}}}
(7)
(5), (6) və (7) inteqrallarına uyğun olaraq 1-ci, 2-ci və 3-cü elliptik inteqrallar deyilir.(5) və (6) inteqrallarının
φ
=
0
{\displaystyle \varphi =0}
qiymətində sıfra çevrilən ibtidai funksiyalarını uyğun olaraq
F
(
k
,
φ
)
{\displaystyle F(k,\varphi )}
və
E
(
k
,
φ
)
{\displaystyle E(k,\varphi )}
ilə işarə edirlər.
