Funksiyal sözü azərbaycan dilində

== İlkin anlayış == İnsanlar arasında formalaşmış fikirə görə sağ və sol beyin yarımkürələrinin funksiyaları insanların müxtəlif fəaliyyətlərini təmin edir. İlk olararaq demek olar ki bu sahədə aparılan tədqəqatlar müxtəlif alimlər tərəfindən müxtəlif cür səsləndirilir. Bu tədqiqatlarda alimlərin gəldikləri nəticələr son zamanlar texnalogiyanın inkşafı ilə əlaqədar olaraq dahada genişlənib. Beyin hissələri üzərində aparılan araşdırmalar əvvəlki araşdırmaları ziddiyətli çıxmağa başlayır. Bu sahədə araşdırma aparmış alimlərdən Robert Ornsteyn, Jeff Anderson, Anna Abraham, Mark Beeman, Adam Bristol, Kalina Christoff, Andreas Fink, Jeremy Gray, Adam Green, Rex Jung, John Kounios, Hikaru Takeuchi, Oshin Vartanian, Darya Zabelina adlarını çəkmək həmçinin Utah Universitetinin nevroloqlarını bildirmək olar. Beyinin doğurdanmı sol yarımkürəsi dillər, Riyazıyyat, məntiq ,ağıl, grammatika, təhlil və yazı , sağ yarımkürə isə rəng qavrayışı, musiqi, təxəyyül, xətyal etmə, planlaşdırma, ritim hissi və yaradıcılıq kimi hissələrə bölünür. Bu alimlərin apardıqları araşdırmalarada ilk olaraq Robert Ornsteyn, araşdırmasına baxaq. == Funksiyaları == === Robert Ornsteyn tədqiqatları === Kaliforniya Universitetinin Professoru Robert Ornsteyn bu sahədə apardığı araşdırmada beyinin hər iki tərəfinin müxtəlif funksiyalara malik olub olmadığını praktiki olaraq gösdərdi. O araşdırmasında bildirdi ki beyinin sol tərəfi zədələnərsə bədənin sağ hissəsi, sağ hissə zədələnərsə bədənin sol hissəsi iflic olur. Robert Ornsteyn beyinin hər iki tərəfinin birlikdə işlədiyi bildirərək identik beyin fərziyyəsindən çıxış etdi.

"Funksiya" — Riyaziyyatın əsas anlayışlarından biri. Onun verilməsində sabit və ya dəyişən kəmiyyətlərdən istifadə edilir. Müxtəlif ədədi qiymət ala bilən kəmiyyətə dəyişən kəmiyyət, yalnız bir ədədi qiymət ala bilən kəmiyyətə isə sabit kəmiyyət deyilir. Məsələn, havanın temperaturu, avtomobilin sürəti, dəniz suyunun səviyyəsi və s. dəyişən kəmiyyətlərdir. İlin fəsillərinin sayı, çevrənin uzunluğunun diametrinə olan nisbəti və s. sabit kəmiyyətdir. Çox zaman hər hansı kəmiyyətin bir qiyməti digər kəmiyyətin də, müəyyən qayda ilə ona uyğun hər hansı qiymət almasına səbəb olur. Onda ikinci dəyişən kəmiyyət birincidən asılı olur. Birinci dəyişənə sərbəst (asılı olmayan), ikinci dəyişənə isə asılı dəyişən deyilir.

Fizioloji funksiyalar - insan, heyvan və bitki orqanizmlərinin, onların həyat fəaliyyətinin və ətraf mühitə uyğunlaşmalarının təmin edən müxtəlif istiqamətdəki fəaliyyəti. == Fizioloji quraqlıq == Ətraf mühitdə rütubətin bolluğu şəraitində temperaturun aşağı olmasilə əlaqədar bitki köklərinin suyu sorma qabiliyyətinin azalması == Fizioloji ritm == Orqanizmlərin fasiləsiz fəaliyyətini saxlayan endogen bioloji ritmlər (ürək döyüntüsü, daxili sekresiyanın vəzifələrinin işi və s.) == Fizioloji sükut == Bitkinin və heyvanın belə həyaat dövründə maddələr mübadiləsi olduqca zəif gedir. == Fizioloji adaptasiya == Orqanizmin fiziologiyasında dəyişkənlik.

Fərz edək ki, f {\displaystyle f} funksiyası A {\displaystyle A} çoxluğunu B {\displaystyle B} çoxluğuna çevirir. g {\displaystyle g} funksiyası isə B {\displaystyle B} çoxluğunu C {\displaystyle C} çoxluğuna çevirir. Yəni x ∈ A {\displaystyle x\in A} olduqda f ( x ) ∈ B {\displaystyle f(x)\in B} , y ∈ B {\displaystyle y\in B} olduqda isə g ( y ) ∈ C {\displaystyle g(y)\in C} olur. Beləliklə bu iki funksiyanın ardıcıl tətbiqi ilə A {\displaystyle A} çoxluğunu C {\displaystyle C} çoxluğuna çevrilir. Bu iki funksiyanın ardıcıl tətbiqi nəticəsində A {\displaystyle A} çoxluğunu C {\displaystyle C} çoxluğuna çevirən funksiyaya f {\displaystyle f} və g {\displaystyle g} funksiyalarının kompozisiyası deyilir və g ∘ f = g ( f ( x ) ) {\displaystyle g\circ f=g(f(x))} kimi işarə olunur. h = g ∘ f {\displaystyle h=g\circ f} funksiyasına mürəkkəb funksiya deyilir. Eyni qayda ilə üç və daha artıq funksiyanın kompozisiyası təyin olunur.

Hiperbolik funksiyalar - elementar funksiyalar ailəsindəndir.Triqonometrik funksiyaların analoqu sayılır.Əsas Hiperbolik funksiyalar bunlardır: Hiperbolik sinus Hiperbolik kosinus Hiperbolik tangens Hiperbolik kotangensTərs Hiperbolik funksiyalar isə bunlardır: Hiperbolik arksinus Hiperbolik arkskosinus Hiperbolik arkstangens Hiperbolik arkskotangens == Riyazi hesablamalarda == Hiperbolik funksiyalar aşağıdakı funksiyalardan ibarətdir: Hiperbolik sinus: sinh ⁡ x = e x − e − x 2 = e 2 x − 1 2 e x {\displaystyle \sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}-1}{2e^{x}}}} Hiperbolik kosinus: cosh ⁡ x = e x + e − x 2 = e 2 x + 1 2 e x {\displaystyle \cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}+1}{2e^{x}}}} Hiperbolik tangens: tanh ⁡ x = sinh ⁡ x cosh ⁡ x = e x − e − x e x + e − x = e 2 x − 1 e 2 x + 1 {\displaystyle \tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}} Hiperbolik kotangens: coth ⁡ x = cosh ⁡ x sinh ⁡ x = e x + e − x e x − e − x = e 2 x + 1 e 2 x − 1 {\displaystyle \coth x={\frac {\cosh x}{\sinh x}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1}}} Hiperbolik sekans: sech x = ( cosh ⁡ x ) − 1 = 2 e x + e − x = 2 e x e 2 x + 1 {\displaystyle \operatorname {sech} \,x=\left(\cosh x\right)^{-1}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {2e^{x}}{e^{2x}+1}}} Hiperbolik kosekans: csch x = ( sinh ⁡ x ) − 1 = 2 e x − e − x = 2 e x e 2 x − 1 {\displaystyle \operatorname {csch} \,x=\left(\sinh x\right)^{-1}={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {2e^{x}}{e^{2x}-1}}} Hiperbolik funksiyalar xəyali vahid (i) dairəsi ilə aşağıdakı kimi də ifade edilir: Hiperbolik sinus: sinh ⁡ x = − i sin ⁡ i x {\displaystyle \sinh x=-{\rm {i}}\sin {\rm {i}}x\!} Hiperbolik kosinus: cosh ⁡ x = cos ⁡ i x {\displaystyle \cosh x=\cos {\rm {i}}x\!} Hiperbolik tangens: tanh ⁡ x = − i tan ⁡ i x {\displaystyle \tanh x=-{\rm {i}}\tan {\rm {i}}x\!} Hiperbolik kotangens: coth ⁡ x = i cot ⁡ i x {\displaystyle \coth x={\rm {i}}\cot {\rm {i}}x\!} Hiperbolik sekans: sech x = sec ⁡ i x {\displaystyle \operatorname {sech} \,x=\sec {{\rm {i}}x}\!} Hiperbolik kosekans: csch x = i csc i x {\displaystyle \operatorname {csch} \,x={\rm {i}}\,\csc \,{\rm {i}}x\!} i, i2 = −1 - xəyali vahiddir. == Hiperbolik funksiyaların törəmələri == d d x sinh ⁡ x = cosh ⁡ x {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sinh x=\cosh x\,} d d x cosh ⁡ x = sinh ⁡ x {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cosh x=\sinh x\,} d d x tanh ⁡ x = 1 − tanh 2 ⁡ x = sech 2 x = 1 / cosh 2 ⁡ x {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\tanh x=1-\tanh ^{2}x={\hbox{sech}}^{2}x=1/\cosh ^{2}x\,} d d x coth ⁡ x = 1 − coth 2 ⁡ x = − csch 2 x = − 1 / sinh 2 ⁡ x {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\coth x=1-\coth ^{2}x=-{\hbox{csch}}^{2}x=-1/\sinh ^{2}x\,} d d x csch x = − coth ⁡ x csch x {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ {\hbox{csch}}\,x=-\coth x\ {\hbox{csch}}\,x\,} d d x sech x = − tanh ⁡ x sech x {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ {\hbox{sech}}\,x=-\tanh x\ {\hbox{sech}}\,x\,} d d x arsinh x = 1 x 2 + 1 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arsinh} \,x={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}} d d x arcosh x = 1 x 2 − 1 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arcosh} \,x={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}} d d x artanh x = 1 1 − x 2 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\operatorname {artanh} \,x={\frac {1}{1-x^{2}}}} d d x arcsch x = − 1 | x | 1 + x 2 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arcsch} \,x=-{\frac {1}{\left|x\right|{\sqrt {1+x^{2}}}}}} d d x arsech x = − 1 x 1 − x 2 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arsech} \,x=-{\frac {1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}}} d d x arcoth x = 1 1 − x 2 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arcoth} \,x={\frac {1}{1-x^{2}}}} == Hiperbolik funksiyaların inteqralları == ∫ sinh ⁡ a x d x = a − 1 cosh ⁡ a x + C {\displaystyle \int \sinh ax\,dx=a^{-1}\cosh ax+C} ∫ cosh ⁡ a x d x = a − 1 sinh ⁡ a x + C {\displaystyle \int \cosh ax\,dx=a^{-1}\sinh ax+C} ∫ tanh ⁡ a x d x = a − 1 ln ⁡ ( cosh ⁡ a x ) + C {\displaystyle \int \tanh ax\,dx=a^{-1}\ln(\cosh ax)+C} ∫ coth ⁡ a x d x = a − 1 ln ⁡ ( sinh ⁡ a x ) + C {\displaystyle \int \coth ax\,dx=a^{-1}\ln(\sinh ax)+C} ∫ d u a 2 + u 2 = sinh − 1 ⁡ ( u a ) + C {\displaystyle \int {\frac {du}{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}}=\sinh ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C} ∫ d u u 2 − a 2 = cosh − 1 ⁡ ( u a ) + C {\displaystyle \int {\frac {du}{\sqrt {u^{2}-a^{2}}}}=\cosh ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C} ∫ d u a 2 − u 2 = a − 1 tanh − 1 ⁡ ( u a ) + C ; u 2 < a 2 {\displaystyle \int {\frac {du}{a^{2}-u^{2}}}=a^{-1}\tanh ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C;u^{2}<a^{2}} ∫ d u a 2 − u 2 = a − 1 coth − 1 ⁡ ( u a ) + C ; u 2 > a 2 {\displaystyle \int {\frac {du}{a^{2}-u^{2}}}=a^{-1}\coth ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C;u^{2}>a^{2}} ∫ d u u a 2 − u 2 = − a − 1 sech − 1 ⁡ ( u a ) + C {\displaystyle \int {\frac {du}{u{\sqrt {a^{2}-u^{2}}}}}=-a^{-1}\operatorname {sech} ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C} ∫ d u u a 2 + u 2 = − a − 1 csch − 1 ⁡ | u a | + C {\displaystyle \int {\frac {du}{u{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}}}=-a^{-1}\operatorname {csch} ^{-1}\left|{\frac {u}{a}}\right|+C} C sabit ədəddir. == Loqarifmaaltı tərs hiperbolik funksiyalar == arsinh x = ln ⁡ ( x + x 2 + 1 ) {\displaystyle \operatorname {arsinh} \,x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)} arcosh x = ln ⁡ ( x + x 2 − 1 ) ; x ≥ 1 {\displaystyle \operatorname {arcosh} \,x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right);x\geq 1} artanh x = 1 2 ln ⁡ 1 + x 1 − x ; | x | < 1 {\displaystyle \operatorname {artanh} \,x={\tfrac {1}{2}}\ln {\frac {1+x}{1-x}};\left|x\right|<1} arcoth x = 1 2 ln ⁡ x + 1 x − 1 ; | x | > 1 {\displaystyle \operatorname {arcoth} \,x={\tfrac {1}{2}}\ln {\frac {x+1}{x-1}};\left|x\right|>1} arsech x = ln ⁡ 1 + 1 − x 2 x ; 0 < x ≤ 1 {\displaystyle \operatorname {arsech} \,x=\ln {\frac {1+{\sqrt {1-x^{2}}}}{x}};0<x\leq 1} arcsch x = ln ⁡ ( 1 x + 1 + x 2 | x | ) {\displaystyle \operatorname {arcsch} \,x=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\frac {\sqrt {1+x^{2}}}{\left|x\right|}}\right)} == Teylor ardıcıllığı üçün hiperbolik funksiyalar == sinh ⁡ x = x + x 3 3 ! + x 5 5 ! + x 7 7 ! + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! {\displaystyle \sinh x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}} cosh ⁡ x = 1 + x 2 2 ! + x 4 4 ! + x 6 6 ! + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ x 2 n ( 2 n ) !

Funksiyanın kəsilməzliyi — əgər lim x → x 0 {\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}} f(x)=f( x 0 {\displaystyle x_{0}} ) (1) olarsa, yəni f(x) funksiyası x= x 0 {\displaystyle x_{0}} -da təyin olunub və istənilən Ԑ>0 üçün elə δ=δ(Ԑ, x 0 {\displaystyle x_{0}} ) >0 ədədi var ki, | x − x 0 | {\displaystyle \left\vert x-x_{0}\right\vert } ˂δ şərtini ödəyən və f(x)-in təyin oblastından olan istənilən x üçün | f ( x ) − f ( x 0 ) | {\displaystyle \left\vert f(x)-f(x_{0})\right\vert } ˂Ԑ bərabərsizliyi doğrudursa, onda f(x) funksiyası x= x 0 {\displaystyle x_{0}} -da (və ya x 0 {\displaystyle x_{0}} nöqtəsində) kəsilməz adlanır. Əgər f(x) funksiyası verilmiş X= { x } {\displaystyle \{x\}} çoxluğunun (intervalın, parçanın və i.a.) bütün nöqtələrində kəsilməzdirsə, bu funksiya X çoxluğunda kəsilməz adlanır. Əgər f(x) funksiyasının X= { x } {\displaystyle \{x\}} təyin oblastına daxil olan və ya bu çoxluğun limit nöqtəsi olan hər hansı x= x 0 {\displaystyle x_{0}} nöqtəsində (1) bərabərliyi ödənmirsə (yəni ya (a) f( x 0 {\displaystyle x_{0}} ) ədədi yoxdur,başqa sözlə,funksiya x= x 0 {\displaystyle x_{0}} nöqtəsində təyin olunmayıb, ya (b) lim{x \to x 0 {\displaystyle x_{0}} }{f(x)} yoxdur, ya da (c) (1) düsturunun hər iki tərəfinin mənası var,lakin onlar bir-birinə bərabər deyil), onda x 0 {\displaystyle x_{0}} nöqtəsi f(x) funksiyasının kəsilmə nöqtəsi adlanır. Kəsilmə nöqtələrini aşağıdakı kimi fərqləndirirlər: 1) I növ kəsilmə nöqtəsi elə x 0 {\displaystyle x_{0}} nöqtəsinə deyilir ki, bu nöqtədə sonlu sol və sağ limitləri f( x 0 {\displaystyle x_{0}} -0)= lim x → x 0 − 0 {\displaystyle \lim _{x\to x_{0}-0}} f(x), f( x 0 {\displaystyle x_{0}} +0)= lim x → x 0 + 0 {\displaystyle \lim _{x\to x_{0}+0}} f(x) var;2) II növ kəsilmə - bütün qalan nöqtələrdir. f( x 0 {\displaystyle x_{0}} +0) - f( x 0 {\displaystyle x_{0}} -0) fərqi x 0 {\displaystyle x_{0}} nöqtəsində funksiyanın sıçrayışı adlanır. Əgər f( x 0 {\displaystyle x_{0}} -0) = f( x 0 {\displaystyle x_{0}} +0) bərabərliyi ödənərsə, onda x 0 {\displaystyle x_{0}} kəsilmə nöqtəsi aradan qaldırıla bilən adlanır. Əgər f( x 0 {\displaystyle x_{0}} -0) və ya f( x 0 {\displaystyle x_{0}} +0) limitlərindən heç olmasa biri ∞ simvoluna bərabərdirsə, onda x 0 {\displaystyle x_{0}} sonsuz kəsilmə nöqtəsi adlanır. Əgər f( x 0 {\displaystyle x_{0}} -0) = f( x 0 {\displaystyle x_{0}} ) f( x 0 {\displaystyle x_{0}} +0) = f( x 0 {\displaystyle x_{0}} ) bərabərliyi ödənərsə, onda f(x) funksiyasına x 0 {\displaystyle x_{0}} nöqtəsində soldan (sağdan) kəsilməz deyilir. f(x) funksiyasının x 0 {\displaystyle x_{0}} nöqtəsində kəsilməzliyi üçün zəruri və kafi şərt üç ədədin bərabərliyidir: f( x 0 {\displaystyle x_{0}} -0) = f( x 0 {\displaystyle x_{0}} +0) = f( x 0 {\displaystyle x_{0}} ) 2.Elementar funksiyaların kəsilməzliyi.Əgər f(x) və g(x) funksiyaları x= x 0 {\displaystyle x_{0}} nöqtəsində kəsilməzdirlərsə,onda a)f(x) ± g(x) b)f(x)g(x) c) f ( x ) g ( x ) {\displaystyle {\frac {f(x)}{g(x)}}} (g( x 0 {\displaystyle x_{0}} )≠0) funksiyaları da x= x 0 {\displaystyle x_{0}} -da kəsilməzdir. Xüsusi halda: a) tam rasional P(x)= a 0 {\displaystyle a_{0}} + a 1 {\displaystyle a_{1}} x+...+ a n {\displaystyle a_{n}} x n {\displaystyle x^{n}} funksiyası istənilən x nötəsində kəsilməzdir; b) kəsr rasional R(x)= a 0 + a 1 x + .

Geniş mənada mədəniyyət , yəni onun hər iki təzahür formaları – maddi və mənəvi mədəniyyət məkan və zaman çərçivəsində insanları birləşdirərək dünyanın təkmilləşdirilməsinə doğru yönəldilir. Bu mənada mədəniyyətin ən vacid vəzifəsini insanları vahid bəşəriyyət timsalında birləşdirərək konkret ictimai funksiyaların reallaşdırılmasını təmin etmək təşkil edirdi. Tarixi inkişaf prosesində mədəniyyətin bir sıra funksiyaları formalaşmışdır: ətraf aləmə uyğunlaşma funksiyası; dərketmə funksiyası, informativ funksiya, kommunikativ funksiya, requlyativ funksiya, insan qruplarının inteqrasiyası funksiyası, sosiallaşma funksiyası. Bu funksiyaların hər birinin qısa şərhə ehtiyacı olduğundan onların hər biri üzərində dayanaq. == Mədəniyyətin funksiyaları == === Mühitə uyğunlaşma funksiyası === Mühitə uyğunlaşma funksiyası – ən qədim funksiyalardan hesab edilərək iki mühüm şəraiti – təbii (təbiət) və sosial şəraitə uyğunlaşmanı nəzərdə tutur. Əgər ən qədim əcdadlarımız üçün heyvan dərisi, od mədəniyyətin qədim, ilkin nümunələri hesab edilirdisə, müasirlərimiz üçün bunu kosmik libaslar, məsələn, skafandr və ya dərin su üçün nəzərdə tutulan batiskado əvəz edir. Bütün bunlar son məqamda insanın təbiətə, mühitə uyğunlaşması funksiyasını yerinə yetirir. Lakin qeyd edildiyi kimi, insan təkcə təbiətin deyil, həm də cəmiyyətin üzvüdür. Burada isə, mədəniyyət çərçivəsində uyğunlaşma vasitələri hazırlanır: dövlət qərar və strukturlarından başlamış müdafiə və hücuma hazırlıq alətlərinin mövcudluğuna qədər – hər şey insanın mənafe və uyğunlaşmasına aid edilir. cəmiyyətdə uyğunlaşmanın mütləqləşdirilməsi «sosial darvinizm» doktrinasının əsasını qoymuşdur.

Bu ifadələrdə, ϕ ( x ) = 1 2 π e − 1 2 x 2 {\displaystyle \phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}} standart normal ehtimal sıxlığı funksiyası, Φ ( x ) = ∫ − ∞ x ϕ ( t ) d t = 1 2 ( 1 + erf ⁡ ( x 2 ) ) {\displaystyle \Phi (x)=\int _{-\infty }^{x}\phi (t)\,dt={\frac {1}{2}}\left(1+\operatorname {erf} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)\right)} müvafiq kumulativ paylama funksiyası (erf xəta funksiyasdır) və T ( h , a ) = ϕ ( h ) ∫ 0 a ϕ ( h x ) 1 + x 2 d x {\displaystyle T(h,a)=\phi (h)\int _{0}^{a}{\frac {\phi (hx)}{1+x^{2}}}\,dx} Ouen funksiyasıdır. == Qeyri-müəyyən inteqrallar == ∫ ϕ ( x ) d x = Φ ( x ) + C {\displaystyle \int \phi (x)\,dx=\Phi (x)+C} ∫ x ϕ ( x ) d x = − ϕ ( x ) + C {\displaystyle \int x\phi (x)\,dx=-\phi (x)+C} ∫ x 2 ϕ ( x ) d x = Φ ( x ) − x ϕ ( x ) + C {\displaystyle \int x^{2}\phi (x)\,dx=\Phi (x)-x\phi (x)+C} ∫ x 2 k + 1 ϕ ( x ) d x = − ϕ ( x ) ∑ j = 0 k ( 2 k ) ! ! ( 2 j ) ! ! x 2 j + C {\displaystyle \int x^{2k+1}\phi (x)\,dx=-\phi (x)\sum _{j=0}^{k}{\frac {(2k)!!}{(2j)!!}}x^{2j}+C} ∫ x 2 k + 2 ϕ ( x ) d x = − ϕ ( x ) ∑ j = 0 k ( 2 k + 1 ) ! ! ( 2 j + 1 ) ! ! x 2 j + 1 + ( 2 k + 1 ) !

İ.A.Krupenikov, V.A.Kovda (1985), Q.V.Dobrovolski, Y.D.Nikitin (1990) və özünün (Krupenikov, 1992) elmi işlərinə və ələrinə əsaslanaraq torpağın aşağıdakı əsas ekoloji funksiyalarını göstərir. == Energetik funksiya == Energetik funksiya - Enerjinin çox miqdarı torpağın mineral səsində toplanır, lakin bu enerji olduqca stabil olub onun da-rlığım təmin edir, maddələrin dövranı proseslərində və ekosistemlərin bioloji məhsuldarlığında isə nisbətən az iştirak edir. Digər mühüm məsələ odur ki, bitki fotosintez prosesində günəş enerjisini toplayır. Canlı maddədə onun dövranı tez (bir neçə il, on illər) başa çatır, lakin canlı maddə ölmüş, quru (bitki) halında torpağa düşdükdə qismən ilkin son məhsullara (su, CO2, azot və başqa kimyəvi maddələr) qədər parçalanır, qismən isə humusa çevrilir. Humusda böyük (əsrliklər) enerji ehtiyatı cəmləşərək hər il bioloji dövrandan kənarlaşır və beləliklə torpağın güclü enerji potensialı yaranır. == Hidroloji funksiya. == Hidroloji funksiya - Əgər torpaq olmasaydı okeanla quru arasında suyun dövranı tez başa çatardı. Yer səthinə düşən atmosfer yağıntıları yamac boyu böyük sürətlə axıb çaylara, sonra isə dəniz və okeanlara axıb gedərdi. Özünün humusluluğu, strukturluğu (aqreqatlığı), məsaməliyi, sukeçiriciliyi və rütubət tutumu ilə torpaq suyun dövranını kəskin zəiflədir, müntəzəmləşdirir, quruda suyun böyük və geniş differensial ehtiyatının yaranmasına şərait yaradır. Bu sular tədricən yabanı və mədəni bitkilər tərəfindən istifadə olunur.

Triqonometrik funksiyalar — elementar funksiyalarin bir növüdür. Onlara sinus (sin x), kosinus (cos x), tangens (tg x), kotangens (ctg x), sekans (sec x) və kosekans (cosec x) funksiyalarını aid edirlər. Triqonometrik funksiyalar adətən həndəsi yolla təyin olunur, lakin onları analitik və bəzi differensial tənliklərin həlli şəklində də təyin etmək mümkündür. Belə hallarda triqonometrik funksiyaların təyin oblastı kompleks ədədləri də əhatə edir. == Triqonometrik funksiyaların təyin olunma yolları == Triqonometrik funksiyaları adətən həndəsi yolla təyin edirlər. Fərz edək ki, müstəvidə dekart koordinat sistemində, mərkəzi koordinat başlanğıcı O nöqtəsində olmaqla R radiuslu çevrə var. Bucaqları absis oxunun müsbət istiqamətdə OB şüasına qədər dönməsi kimi qəbul edirik. Saat əqrəbinin hərəkəti istiqaməti mənfi, əks istiqamət isə müsbət hesab edilir. B nöqtəsinin koordinatlaını dekart koordinat sistemində (xB, yB) kimi qeyd edək.

Triqonometrik funksiyaların inteqralları siyahısı — bütün Triqonometrik funksiyaların inteqralları haqqında olan düsturları cəmləşdirir. Düsturlardan qeyd etmək lazımdır ki, C (yəni, konstant) heç vaxt sıfra bərabər deyildir. == Əsas Triqonometrik funksiyaların inteqralları == ∫ sin ⁡ ( a x + b ) d x = − 1 a cos ⁡ ( a x + b ) + C {\displaystyle \int \sin(ax+b)\,dx=-{\frac {1}{a}}\cos(ax+b)+C} ∫ cos ⁡ ( a x + b ) d x = 1 a sin ⁡ ( a x + b ) + C {\displaystyle \int \cos(ax+b)\,dx={\frac {1}{a}}\sin(ax+b)+C} ∫ tan ⁡ ( a x ) d x = − 1 a ln ⁡ | cos ⁡ ( a x ) | + C = 1 a ln ⁡ | sec ⁡ ( a x ) | + C {\displaystyle \int \tan(ax)\,dx=-{\frac {1}{a}}\ln |\cos(ax)|+C={\frac {1}{a}}\ln |\sec(ax)|+C} ∫ cotan ⁡ ( a x ) d x = 1 a ln ⁡ | sin ⁡ ( a x ) | + C {\displaystyle \int \operatorname {cotan} (ax)\,dx={\frac {1}{a}}\ln |\sin(ax)|+C} ∫ sin ⁡ ( x ) d x = − cos ⁡ ( x ) + C {\displaystyle \int \sin(x)\,dx=-\cos(x)+C} ∫ cos ⁡ ( x ) d x = sin ⁡ ( x ) + C {\displaystyle \int \cos(x)\,dx=\sin(x)+C} ∫ tan ⁡ ( x ) d x = − ln ⁡ | cos ⁡ ( x ) | + C = ln ⁡ | sec ⁡ ( x ) | + C {\displaystyle \int \tan(x)\,dx=-\ln |\cos(x)|+C=\ln |\sec(x)|+C} ∫ cotan ⁡ ( x ) d x = ln ⁡ | sin ⁡ ( x ) | + C = − ln ⁡ | cosec ⁡ ( x ) | + C {\displaystyle \int \operatorname {cotan} (x)\,dx=\ln |\sin(x)|+C=-\ln |\operatorname {cosec} (x)|+C} == Sinus inteqralları == ∫ sin ⁡ c x d x = − 1 c cos ⁡ c x {\displaystyle \int \sin cx\;dx=-{\frac {1}{c}}\cos cx\,\!} ∫ sin n ⁡ c x d x = − sin n − 1 ⁡ c x cos ⁡ c x n c + n − 1 n ∫ sin n − 2 ⁡ c x d x ( n > 0 ) {\displaystyle \int \sin ^{n}cx\;dx=-{\frac {\sin ^{n-1}cx\cos cx}{nc}}+{\frac {n-1}{n}}\int \sin ^{n-2}cx\;dx\qquad {\mbox{( }}n>0{\mbox{)}}\,\!} ∫ x sin ⁡ c x d x = sin ⁡ c x c 2 − x cos ⁡ c x c {\displaystyle \int x\sin cx\;dx={\frac {\sin cx}{c^{2}}}-{\frac {x\cos cx}{c}}\,\!} ∫ x 2 sin ⁡ c x d x = 2 cos ⁡ c x c 3 + 2 x sin ⁡ c x c 2 − x 2 cos ⁡ c x c {\displaystyle \int x^{2}\sin cx\;dx={\frac {2\cos cx}{c^{3}}}+{\frac {2x\sin cx}{c^{2}}}-{\frac {x^{2}\cos cx}{c}}\,\!} ∫ x 3 sin ⁡ c x d x = − 6 sin ⁡ c x c 4 + 6 x cos ⁡ c x c 3 + 3 x 2 sin ⁡ c x c 2 − x 3 cos ⁡ c x c {\displaystyle \int x^{3}\sin cx\;dx=-{\frac {6\sin cx}{c^{4}}}+{\frac {6x\cos cx}{c^{3}}}+{\frac {3x^{2}\sin cx}{c^{2}}}-{\frac {x^{3}\cos cx}{c}}\,\!} ∫ x 4 sin ⁡ c x d x = − 24 cos ⁡ c x c 5 − 24 x sin ⁡ c x c 4 + 12 x 2 cos ⁡ c x c 3 + 4 x 3 sin ⁡ c x c 2 − x 4 cos ⁡ c x c {\displaystyle \int x^{4}\sin cx\;dx=-{\frac {24\cos cx}{c^{5}}}-{\frac {24x\sin cx}{c^{4}}}+{\frac {12x^{2}\cos cx}{c^{3}}}+{\frac {4x^{3}\sin cx}{c^{2}}}-{\frac {x^{4}\cos cx}{c}}\,\!} ∫ x 5 sin ⁡ c x d x = 120 sin ⁡ c x c 6 − 120 x cos ⁡ c x c 5 − 60 x 2 sin ⁡ c x c 4 + 20 x 3 cos ⁡ c x c 3 + 5 x 4 sin ⁡ c x c 2 − x 5 cos ⁡ c x c {\displaystyle \int x^{5}\sin cx\;dx={\frac {120\sin cx}{c^{6}}}-{\frac {120x\cos cx}{c^{5}}}-{\frac {60x^{2}\sin cx}{c^{4}}}+{\frac {20x^{3}\cos cx}{c^{3}}}+{\frac {5x^{4}\sin cx}{c^{2}}}-{\frac {x^{5}\cos cx}{c}}\,\!} ∫ x n sin ⁡ c x d x = n ! ⋅ sin ⁡ c x [ x n − 1 c 2 ⋅ ( n − 1 ) ! − x n − 3 c 4 ⋅ ( n − 3 ) ! + x n − 5 c 6 ⋅ ( n − 5 ) ! − . . . ] − − n !

Tərs triqonometrik funksiyalar (dairəvi funksiya, arkfunksiya) — triqonometrik funksiyalar tərsinə çevrilə bilən riyazi funksiyalardır. Tərs triqonometrik funksiyalara əsasən altı funksiya daxildir: arksinus ( a r c s i n x ; a r c s i n x {\displaystyle \mathrm {arcsin} \,x;\mathrm {arcsin} \,x} — bu bucağın sinusu x {\displaystyle x} -ə bərabərdir) arkkosinus ( a r c c o s x ; a r c c o s x {\displaystyle \mathrm {arccos} \,x;\mathrm {arccos} \,x} — bu bucağın kosinusu x {\displaystyle x} -ə bərabərdir) arktangens ( a r c t g x {\displaystyle \mathrm {arctg} \,x} ; xarici ədəbiyyatlarda a r c t a n x {\displaystyle \mathrm {arctan} \,x} ) arkkotangens ( a r c c t g x {\displaystyle \mathrm {arcctg} \,x} ; xarici ədəbiyyatlarda a r c c o t x {\displaystyle \mathrm {arccot} \,x} və ya a r c c o t a n x {\displaystyle \mathrm {arccotan} \,x} ) arksekans( a r c s e c x {\displaystyle \mathrm {arcsec} \,x} ) arkkosekans( a r c c o s e c x {\displaystyle \mathrm {arccosec} \,x} ; xarici ədəbiyyatlarda a r c c s c x {\displaystyle \mathrm {arccsc} \,x} )Triqonometrik funksiyaların adının qarışındakı "arc" sözü( lat. arcus — ox, qövs, qövsəoxşar xətt) bu funksiyaları tərs triqonometrik funksiyaların adına çevirir. Bu onunla bağlıdır ki, tərs triqonometrik funksiyaların həndəsi qiyməti vahid çevrənin qövsünün uzunluğu ilə əlaqələndirmək olar. Tərs triqonometrik funksiyalar anlayışını Laqranj köməyi ilə Avstriya riyaziyyatçısı Karla Şerfer (alm. Karl Scherffer‎; 1716—1783) daxil etmişdir. == Əsas eyniliklər == arcsin ⁡ x + arccos ⁡ x = π 2 {\displaystyle \arcsin x+\arccos x={\frac {\pi }{2}}} arctg x + arcctg x = π 2 {\displaystyle \operatorname {arctg} \,x+\operatorname {arcctg} \,x={\frac {\pi }{2}}} == Arksinus funksiyası == Arksinus - m ədədinin x bucağının qiymətinə , radian ifadəsinə deyilir, hansı ki, sin ⁡ x = m , − π 2 ⩽ x ⩽ π 2 , | m | ⩽ 1. {\displaystyle \sin x=m,\,-{\frac {\pi }{2}}\leqslant x\leqslant {\frac {\pi }{2}},\,|m|\leqslant 1.} y = sin ⁡ x {\displaystyle y=\sin x} funksiyası bütün ədəd oxunda kəsilməz və məhduddur. y = arcsin ⁡ x {\displaystyle y=\arcsin x} funksiyası ciddi artandır. sin ⁡ ( arcsin ⁡ x ) = x {\displaystyle \sin(\arcsin x)=x\qquad } − 1 ⩽ x ⩽ 1 , {\displaystyle -1\leqslant x\leqslant 1,} arcsin ⁡ ( sin ⁡ y ) = y {\displaystyle \arcsin(\sin y)=y\qquad } − π 2 ⩽ y ⩽ π 2 , {\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}\leqslant y\leqslant {\frac {\pi }{2}},} D ( arcsin ⁡ x ) = [ − 1 ; 1 ] {\displaystyle D(\arcsin x)=[-1;1]\qquad } (təyin oblastı), E ( arcsin ⁡ x ) = [ − π 2 ; π 2 ] {\displaystyle E(\arcsin x)=\left[-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right]\qquad } (qiymətlər çoxluğu).