Funksiyanın diferensialı
Diferensial funksiyanın xətti artımını təsvir edir. Bu anlayış istiqamətdən asılı olaraq törəmə ilə sıx bağlıdır.
Funksiyanın
f
{\displaystyle f}
diferensialı
d
f
{\displaystyle df}
, onun
x
{\displaystyle x}
nöqtəsindəki qiyməti
d
x
f
{\displaystyle d_{x}f}
ilə işarə olunur.
Diferensialın sadə şəkildə izahı belədir: Verilmiş
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
funksiyasının dəyişmə tezliyi onun arqumentinin (
x
{\displaystyle x}
) dəyişmə tezliyindən asılıdır.
Diferensial anlayışı XVII-XVIII əsrlərdə diferensial hesablarının yaranması zamanı daxil edilmişdir. XIX əsrdən başlayaraq analiz A.L.Kauçi və Karl Vayerstrass tərəfindən sərhəd qiymətləri əsasında yenidən işlənərək riyazi cəhətdən daha düzgün qurulmuşdur. Bununla diferensial anlayışı öz ilkin əhəmiyyətini itirir. Hazırda diferensial
d
x
{\displaystyle dx}
yalnız məhdud halda tətbiq olunur.
== Tərifi ==
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle y=f(x)}
funksiyası
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
intervalında diferensiallanandır.
Δ
y
=
f
′
(
x
)
Δ
x
+
(
Δ
x
)
Δ
x
{\displaystyle \Delta y=f'(x)\Delta x+(\Delta x)\Delta x}
Diferensiallanan
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle y=f(x)}
funksiyasının
x
{\displaystyle x}
nöqtəsindəki artımının baş hissəsinə, yəni
Δ
x
{\displaystyle \Delta x}
-dən xətti asılı olan
f
′
(
x
)
Δ
x
{\displaystyle f'(x)\Delta x}
ifadəsinə onun
x
{\displaystyle x}
nöqtəsində diferensialı deyilir.
Funksiyanın qrafiki
Riyaziyyatda bir f funksiyanın qrafiki, bütün ( x, f ( x)) sıralı cütlərinin meydana gətirdiyi bir qrafikdir.
Elm, mühəndislik, texnologiya, maliyyə və digər sahələrdə qrafiklər bir çox məqsəd üçün istifadə edilir.
== Nümunələr ==
=== Bir dəyişənli funksiyalar ===
Bir dəyişənli funksiyanın qrafiki belədir:
f
(
x
)
=
{
a
,
x
=
1
i
c
i
n
d
,
x
=
2
i
c
i
n
c
,
x
=
3
i
c
i
n
.
{\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{matrix}a,&{\mbox{ }}x=1{\mbox{ }}icin\\d,&{\mbox{ }}x=2{\mbox{ }}icin\\c,&{\mbox{ }}x=3{\mbox{ }}icin.\end{matrix}}\right.}
Buradakı sıralı cütlər belə ifadə edilir:
{(1, a), (2, d), (3, c)}
Həqiqi ədələr olan üçüncü dərəcədən bir çoxhədliin qrafiki belədir:
f
(
x
)
=
x
3
−
9
x
{\displaystyle f(x)={{x^{3}}-9x}\!\ }
Bunun sıralı cütləri belə ifadə edilir:
{( X, x 3 -9 x): x, bir həqiqi ədəddir}.
Bu çoxluq əgər karteziyan koordinant sistemində çəkilərsə, yandakı şəkildəki kimi bir əyri olar.
=== İki dəyişənli funksiyalar ===
Bütün həqiqi ədədlər triqonometrik funksiyanın qrafiki belədir:
F ( x, y) = sin ( x 2 ) · cos ( y 2 )
Bunun verilənlər:
{( X, y, sin ( x 2 ) · cos (' 'y 2 )): x və y, həqiqi ədədlərdir.
Bu çoxluq əgər karteziyan koordinant sistemi ndə çəkilərsə, yandakı şəkildəki kimi bir səth olar.
İki ölçülü (X, Y) karteziyan koordinat sistemindəki bu çoxluqda, üçüncü koordinat (Z) ilə birlikdə görmək üçün rəng istifadə edilər.
=== Normalın qrafiki ===
x
=
x
1
,
…
,
x
n
{\displaystyle x=x_{1},\dotsc ,x_{n}}
formasında n dəyişənli bir f funksiyasının normalinin qrafiki belədir:
(
∇
f
,
−
1
)
{\displaystyle (\nabla f,-1)}
(Bir sabit ilə hasili). Bunu görmək üçün,
g
(
x
,
z
)
=
f
(
x
)
−
z
{\displaystyle g(x,z)=f(x)-z}
funksiyasının bir kümedeki qrafikini göz qarşısında saxlamaq və çoxluqda
∇
g
{\displaystyle \nabla g}
normalından istifadə etmək lazımdır.
