Eyler inteqralları
=== 1.Qamma-funksiya ===
x
>
0
{\displaystyle x>0}
olduqda
Γ
(
x
)
=
∫
0
+
∞
t
x
−
1
e
−
t
d
t
{\displaystyle \Gamma (x)=\int \limits _{0}^{+\infty }t^{x-1}e^{-t}dt}
.
Qamma-funksiyasının əsas xassəsi
Γ
(
x
+
1
)
=
x
Γ
(
x
)
{\displaystyle \Gamma (x+1)=x\Gamma (x)}
düsturu ilə ifadə olunur.Əgər
n
{\displaystyle n}
natural ədəddirsə, onda
Γ
(
n
)
=
(
n
−
1
)
!
;
{\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!;}
Γ
(
n
+
1
2
)
=
1
×
3...
(
2
n
−
1
)
2
n
π
{\displaystyle \Gamma (n+{\tfrac {1}{2}})={\tfrac {1\times 3...(2n-1)}{2^{n}}}{\sqrt {\pi }}}
.
=== 2.Tamamlama düsturu ===
x
{\displaystyle x}
tam ədəddən fərqli olduqda
Γ
(
x
)
Γ
(
1
−
x
)
=
π
sin
π
x
{\displaystyle \Gamma (x)\Gamma (1-x)={\tfrac {\pi }{\sin \pi x}}}
.
Bu düstur arqumentin mənfi qiymətləri üçün qamma-funksiyasını təyin etməyə imkan verir.
Triqonometrik funksiyaların inteqralları siyahısı
Triqonometrik funksiyaların inteqralları siyahısı — bütün Triqonometrik funksiyaların inteqralları haqqında olan düsturları cəmləşdirir. Düsturlardan qeyd etmək lazımdır ki, C (yəni, konstant) heç vaxt sıfra bərabər deyildir.
== Əsas Triqonometrik funksiyaların inteqralları ==
∫
sin
(
a
x
+
b
)
d
x
=
−
1
a
cos
(
a
x
+
b
)
+
C
{\displaystyle \int \sin(ax+b)\,dx=-{\frac {1}{a}}\cos(ax+b)+C}
∫
cos
(
a
x
+
b
)
d
x
=
1
a
sin
(
a
x
+
b
)
+
C
{\displaystyle \int \cos(ax+b)\,dx={\frac {1}{a}}\sin(ax+b)+C}
∫
tan
(
a
x
)
d
x
=
−
1
a
ln
|
cos
(
a
x
)
|
+
C
=
1
a
ln
|
sec
(
a
x
)
|
+
C
{\displaystyle \int \tan(ax)\,dx=-{\frac {1}{a}}\ln |\cos(ax)|+C={\frac {1}{a}}\ln |\sec(ax)|+C}
∫
cotan
(
a
x
)
d
x
=
1
a
ln
|
sin
(
a
x
)
|
+
C
{\displaystyle \int \operatorname {cotan} (ax)\,dx={\frac {1}{a}}\ln |\sin(ax)|+C}
∫
sin
(
x
)
d
x
=
−
cos
(
x
)
+
C
{\displaystyle \int \sin(x)\,dx=-\cos(x)+C}
∫
cos
(
x
)
d
x
=
sin
(
x
)
+
C
{\displaystyle \int \cos(x)\,dx=\sin(x)+C}
∫
tan
(
x
)
d
x
=
−
ln
|
cos
(
x
)
|
+
C
=
ln
|
sec
(
x
)
|
+
C
{\displaystyle \int \tan(x)\,dx=-\ln |\cos(x)|+C=\ln |\sec(x)|+C}
∫
cotan
(
x
)
d
x
=
ln
|
sin
(
x
)
|
+
C
=
−
ln
|
cosec
(
x
)
|
+
C
{\displaystyle \int \operatorname {cotan} (x)\,dx=\ln |\sin(x)|+C=-\ln |\operatorname {cosec} (x)|+C}
== Sinus inteqralları ==
∫
sin
c
x
d
x
=
−
1
c
cos
c
x
{\displaystyle \int \sin cx\;dx=-{\frac {1}{c}}\cos cx\,\!}
∫
sin
n
c
x
d
x
=
−
sin
n
−
1
c
x
cos
c
x
n
c
+
n
−
1
n
∫
sin
n
−
2
c
x
d
x
(
n
>
0
)
{\displaystyle \int \sin ^{n}cx\;dx=-{\frac {\sin ^{n-1}cx\cos cx}{nc}}+{\frac {n-1}{n}}\int \sin ^{n-2}cx\;dx\qquad {\mbox{( }}n>0{\mbox{)}}\,\!}
∫
x
sin
c
x
d
x
=
sin
c
x
c
2
−
x
cos
c
x
c
{\displaystyle \int x\sin cx\;dx={\frac {\sin cx}{c^{2}}}-{\frac {x\cos cx}{c}}\,\!}
∫
x
2
sin
c
x
d
x
=
2
cos
c
x
c
3
+
2
x
sin
c
x
c
2
−
x
2
cos
c
x
c
{\displaystyle \int x^{2}\sin cx\;dx={\frac {2\cos cx}{c^{3}}}+{\frac {2x\sin cx}{c^{2}}}-{\frac {x^{2}\cos cx}{c}}\,\!}
∫
x
3
sin
c
x
d
x
=
−
6
sin
c
x
c
4
+
6
x
cos
c
x
c
3
+
3
x
2
sin
c
x
c
2
−
x
3
cos
c
x
c
{\displaystyle \int x^{3}\sin cx\;dx=-{\frac {6\sin cx}{c^{4}}}+{\frac {6x\cos cx}{c^{3}}}+{\frac {3x^{2}\sin cx}{c^{2}}}-{\frac {x^{3}\cos cx}{c}}\,\!}
∫
x
4
sin
c
x
d
x
=
−
24
cos
c
x
c
5
−
24
x
sin
c
x
c
4
+
12
x
2
cos
c
x
c
3
+
4
x
3
sin
c
x
c
2
−
x
4
cos
c
x
c
{\displaystyle \int x^{4}\sin cx\;dx=-{\frac {24\cos cx}{c^{5}}}-{\frac {24x\sin cx}{c^{4}}}+{\frac {12x^{2}\cos cx}{c^{3}}}+{\frac {4x^{3}\sin cx}{c^{2}}}-{\frac {x^{4}\cos cx}{c}}\,\!}
∫
x
5
sin
c
x
d
x
=
120
sin
c
x
c
6
−
120
x
cos
c
x
c
5
−
60
x
2
sin
c
x
c
4
+
20
x
3
cos
c
x
c
3
+
5
x
4
sin
c
x
c
2
−
x
5
cos
c
x
c
{\displaystyle \int x^{5}\sin cx\;dx={\frac {120\sin cx}{c^{6}}}-{\frac {120x\cos cx}{c^{5}}}-{\frac {60x^{2}\sin cx}{c^{4}}}+{\frac {20x^{3}\cos cx}{c^{3}}}+{\frac {5x^{4}\sin cx}{c^{2}}}-{\frac {x^{5}\cos cx}{c}}\,\!}
∫
x
n
sin
c
x
d
x
=
n
!
⋅
sin
c
x
[
x
n
−
1
c
2
⋅
(
n
−
1
)
!
−
x
n
−
3
c
4
⋅
(
n
−
3
)
!
+
x
n
−
5
c
6
⋅
(
n
−
5
)
!
−
.
.
.
]
−
−
n
!
Qauss funksiyalarının inteqrallarının siyahısı
Bu ifadələrdə,
ϕ
(
x
)
=
1
2
π
e
−
1
2
x
2
{\displaystyle \phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}}
standart normal ehtimal sıxlığı funksiyası,
Φ
(
x
)
=
∫
−
∞
x
ϕ
(
t
)
d
t
=
1
2
(
1
+
erf
(
x
2
)
)
{\displaystyle \Phi (x)=\int _{-\infty }^{x}\phi (t)\,dt={\frac {1}{2}}\left(1+\operatorname {erf} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)\right)}
müvafiq kumulativ paylama funksiyası (erf xəta funksiyasdır) və
T
(
h
,
a
)
=
ϕ
(
h
)
∫
0
a
ϕ
(
h
x
)
1
+
x
2
d
x
{\displaystyle T(h,a)=\phi (h)\int _{0}^{a}{\frac {\phi (hx)}{1+x^{2}}}\,dx}
Ouen funksiyasıdır.
== Qeyri-müəyyən inteqrallar ==
∫
ϕ
(
x
)
d
x
=
Φ
(
x
)
+
C
{\displaystyle \int \phi (x)\,dx=\Phi (x)+C}
∫
x
ϕ
(
x
)
d
x
=
−
ϕ
(
x
)
+
C
{\displaystyle \int x\phi (x)\,dx=-\phi (x)+C}
∫
x
2
ϕ
(
x
)
d
x
=
Φ
(
x
)
−
x
ϕ
(
x
)
+
C
{\displaystyle \int x^{2}\phi (x)\,dx=\Phi (x)-x\phi (x)+C}
∫
x
2
k
+
1
ϕ
(
x
)
d
x
=
−
ϕ
(
x
)
∑
j
=
0
k
(
2
k
)
!
!
(
2
j
)
!
!
x
2
j
+
C
{\displaystyle \int x^{2k+1}\phi (x)\,dx=-\phi (x)\sum _{j=0}^{k}{\frac {(2k)!!}{(2j)!!}}x^{2j}+C}
∫
x
2
k
+
2
ϕ
(
x
)
d
x
=
−
ϕ
(
x
)
∑
j
=
0
k
(
2
k
+
1
)
!
!
(
2
j
+
1
)
!
!
x
2
j
+
1
+
(
2
k
+
1
)
!
