Əyrinin uzunluğu
Uzunluq riyaziyyatda parça, yol və əyrilərin xassələrini səciyyələndirir. Əyrinin uzunluğu həmçinin "qövs uzunluğu" da adlanır.
== Parçanın uzunluğu ==
Əgər, uyğun olaraq
(
a
1
,
a
2
,
a
3
)
{\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3})}
,
(
b
1
,
b
2
,
b
3
)
{\displaystyle (b_{1},b_{2},b_{3})}
koordinatlarına malik
A
{\displaystyle A}
və
B
{\displaystyle B}
nöqtələri verilmiş
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
fəzaya aiddrsə, onda bu koordinatlar arasındakı
A
B
{\displaystyle AB}
parçasının uzunluğu Pifaqor teoreminə görə hesablanır:
|
A
B
|
=
(
a
1
−
b
1
)
2
+
(
a
2
−
b
2
)
2
+
(
a
3
−
b
3
)
2
{\displaystyle |AB|={\sqrt {(a_{1}-b_{1})^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}+(a_{3}-b_{3})^{2}}}}
== Müstəvidə yolun uzunluğu ==
Müstəvi üzərində və ya fəzada yol iki və ya üç koordinat funksiyası ilə verilir:
t
↦
(
x
(
t
)
,
y
(
t
)
)
{\displaystyle t\mapsto (x(t),y(t))}
uyğun olaraq
t
↦
(
x
(
t
)
,
y
(
t
)
,
z
(
t
)
)
{\displaystyle t\mapsto (x(t),y(t),z(t))}
,
a
≤
t
≤
b
{\displaystyle a\leq t\leq b}
şərti daxilində.Hissə-hissə kəsilməyən yolun uzunluğu onun vektorunun inteqrallanması ilə əldə edilir:
L
=
∫
a
b
x
˙
(
t
)
2
+
y
˙
(
t
)
2
d
t
{\displaystyle L=\int _{a}^{b}{\sqrt {{\dot {x}}(t)^{2}+{\dot {y}}(t)^{2}}}\,\mathrm {d} t}
uyğun olaraq
∫
a
b
x
˙
(
t
)
2
+
y
˙
(
t
)
2
+
z
˙
(
t
)
2
d
t
.
{\displaystyle \int _{a}^{b}{\sqrt {{\dot {x}}(t)^{2}+{\dot {y}}(t)^{2}+{\dot {z}}(t)^{2}}}\,\mathrm {d} t.}
== Polyar koordinat sistemində yolun uzunluğu ==
Müstəvidə verilmiş yol polyar koordinat sistemnində
r
(
φ
)
{\displaystyle r(\varphi )}
şəklind təyin olunmuşsa, onda
φ
0
≤
φ
≤
φ
1
{\displaystyle \varphi _{0}\leq \varphi \leq \varphi _{1}}
üçün
φ
↦
(
r
(
φ
)
cos
φ
,
r
(
φ
)
sin
φ
)
{\displaystyle \varphi \mapsto (r(\varphi )\cos \varphi ,r(\varphi )\sin \varphi )}
hasil qaydasından alınır
d
x
d
φ
=
r
′
(
φ
)
cos
φ
−
r
(
φ
)
sin
φ
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} \varphi }}=r^{\prime }(\varphi )\cos \varphi -r(\varphi )\sin \varphi }
və
d
y
d
φ
=
r
′
(
φ
)
sin
φ
+
r
(
φ
)
cos
φ
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} \varphi }}=r^{\prime }(\varphi )\sin \varphi +r(\varphi )\cos \varphi }
, bununla
(
d
x
d
φ
)
2
+
(
d
y
d
φ
)
2
=
(
r
′
(
φ
)
)
2
+
r
2
(
φ
)
{\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} \varphi }}\right)^{2}+\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} \varphi }}\right)^{2}=\left(r^{\prime }(\varphi )\right)^{2}+r^{2}(\varphi )}
.Buradan polyar koordinat siistemondə yolun uzunluğu belə tapılır:
L
=
∫
φ
0
φ
1
(
r
′
(
φ
)
)
2
+
r
2
(
φ
)
d
φ
{\displaystyle L=\int _{\varphi _{0}}^{\varphi _{1}}{\sqrt {\left(r^{\prime }(\varphi )\right)^{2}+r^{2}(\varphi )}}\,\mathrm {d} \varphi }
.
