Çoxluq
Çoxluqlar nəzəriyyəsi – riyaziyyatın çoxluqların ümumi xassələrini öyrənən bölməsi. Bir çox riyazi fənlər, o cümlədən cəbr, riyazi analiz, ölçü nəzəriyyəsi, stoxastik və topologiya çoxluq nəzəriyyəsinə əsaslanırlar. Əsası alman riyaziyyatçısı Qeorq Kantor tərəfindən qoyulmuşdur.
Hər hansı bir çoxluğu təşkil edən obyektlərə bu çoxluğun elementi deyilir. Çoxluqlar böyük hərflərlə, çoxluğun elementləri isə uyğun kiçik hərflərlə işarə olunur.
Çoxluq nəzəriyyəsində
a
∈
A
{\displaystyle a\in A}
münasibəti o deməkdir ki,
a
{\displaystyle a}
A
{\displaystyle A}
çoxluğunun elementidir. Bunun inkarı isə
a
∉
A
{\displaystyle a\notin A}
kimi işarə edililirlər. Bu münasibət isə onu göstərir ki,
a
{\displaystyle a}
A
{\displaystyle A}
çoxluğunun elementi deyil.
Bir çoxluq
A
{\displaystyle A}
digər çoxluğun
B
{\displaystyle B}
o vaxt altçoxluğu adlanır ki,
A
{\displaystyle A}
çoxluğuna aid olan ixtiyari element həm də
B
{\displaystyle B}
çoxluğunun elementi olsun.
B
{\displaystyle B}
o zaman
A
{\displaystyle A}
-nin üstçoxluğu adlanır.
Boş çoxluq
Boş çoxluq, tərkibində heç bir elementi olmayan çoxluğa deyilir. Boş çoxluq
∅
{\displaystyle \emptyset }
ilə işarə olunur. Uyğun olaraq:
∅
{\displaystyle \emptyset }
və
{
∅
}
{\displaystyle \{\emptyset \}}
müxtəlif olurlar. Boş çoxluq hər bir çoxluğun alt çoxluğudur. Boş çoxluğu həmçinin aşağıdakı kimi də ifadə etmək olar:
∅
A
=
{
x
∈
A
∣
∀
x
∉
A
}
{\displaystyle \emptyset _{A}=\{x\in A\mid \forall x\notin A\}}
∅
A
−
A
{\displaystyle \emptyset _{A}-A}
çoxluğunun boş alt çoxluğudur.
Qabarıq çoxluq
Qabarıq çoxluq — Affin və ya Evklid fəzasında aşağıdakı şərti ödəyən nöqtələr çoxluğudur: "Bu çoxluğun ixtiyari iki nöqtəsini birləşdirən parça həmin çoxluğa aiddir".
Qabarıq çoxluq misal olaraq kürəni, dairəni, qabarıq çoxüzlünü, qabarıq çoxbucaqlını, yarımfəzanı, yarımmüstəvini və s. göstərmək olar. Qabarıq çoxluq bir sıra maraqlı xassələri var. Qabarıq çoxluq qabarıq cisimlər nəzəriyyəsi öyrənir. Son vaxtlar qabarıq çoxluq maraq artmışdır. Bu da xətti proqamlaşdırmanın inkişafı ilə əlaqədardır.
Qabarıq cisim qabarıq çoxluğu təşkil edən nöqtələr çoxluğundan ibarət cisimdir.
Qabarıq fiqur qabarıq çoxluğu təşkil edən nöqtələr çoxluğundan ibarət fiqurdur.
1.
Çoxluq nəzəriyyəsi
Çoxluqlar nəzəriyyəsi – riyaziyyatın çoxluqların ümumi xassələrini öyrənən bölməsi. Bir çox riyazi fənlər, o cümlədən cəbr, riyazi analiz, ölçü nəzəriyyəsi, stoxastik və topologiya çoxluq nəzəriyyəsinə əsaslanırlar. Əsası alman riyaziyyatçısı Qeorq Kantor tərəfindən qoyulmuşdur.
Hər hansı bir çoxluğu təşkil edən obyektlərə bu çoxluğun elementi deyilir. Çoxluqlar böyük hərflərlə, çoxluğun elementləri isə uyğun kiçik hərflərlə işarə olunur.
Çoxluq nəzəriyyəsində
a
∈
A
{\displaystyle a\in A}
münasibəti o deməkdir ki,
a
{\displaystyle a}
A
{\displaystyle A}
çoxluğunun elementidir. Bunun inkarı isə
a
∉
A
{\displaystyle a\notin A}
kimi işarə edililirlər. Bu münasibət isə onu göstərir ki,
a
{\displaystyle a}
A
{\displaystyle A}
çoxluğunun elementi deyil.
Bir çoxluq
A
{\displaystyle A}
digər çoxluğun
B
{\displaystyle B}
o vaxt altçoxluğu adlanır ki,
A
{\displaystyle A}
çoxluğuna aid olan ixtiyari element həm də
B
{\displaystyle B}
çoxluğunun elementi olsun.
B
{\displaystyle B}
o zaman
A
{\displaystyle A}
-nin üstçoxluğu adlanır.
Qeyri-səlis çoxluq
Qeyri-səlis çoxluq (və ya əlamətsiz çoxluq) anlayışı, çoxluq anlayışının element olmanın qiymətləndirilməsinə söykənən ümumiləşdirmədir. Qeyri-səlis çoxluq əlamətsiz məntiqin təbii bir ümumiləşməsi olaraq 1965-ci ildə Lütfi Zadə tərəfindən isbat edilmişdir. Bir obyekt bir çoxluğun ya elementi ya da elementi olmadığı halda, bir qeyri-səlis çoxluğun müəyyən bir nisbətdə qismən elementi ola bilər.
X
{\displaystyle X}
sıfırdan fərqli bir universal çoxluq olaraq seçilsin. Bir
A
:
X
→
[
0
,
1
]
{\displaystyle A:X\to [0,1]}
funksiyasına
X
{\displaystyle X}
üzərində bir qeyri-səlis çoxluq adı verilir.
Qeyri-səlis çoxluq müxtəlif cür də göstərilə bilər ancaq çoxluğun hər nöqtə üçün
[
0
,
1
]
{\displaystyle [0,1]}
aralığında (qapalı) bir qiymət alması baxımından bu təsvirlərin hamısı bir-birinə bərabərdir..
Bir
x
{\displaystyle x}
∈
X
{\displaystyle X}
elementi üçün
A
(
x
)
{\displaystyle A(x)}
qiymətinə
x
{\displaystyle x}
-in A-dakı elementlik dərəcəsi deyilir. Bu qiymət kimi zaman
μ
A
(
x
)
{\displaystyle \mu _{A}(x)}
ilə də göstərilir.
A
(
x
)
=
1
{\displaystyle A(x)=1}
olması klassik çoxluq anlayışında
x
{\displaystyle x}
-in
A
{\displaystyle A}
-nın elementi olması,
A
(
x
)
=
0
{\displaystyle A(x)=0}
olması isə klassik çoxluqlarda
x
{\displaystyle x}
-in
A
{\displaystyle A}
-nın elementi olmaması mənasına gəlir.
Əgər
x
{\displaystyle x}
üçün
A
(
x
)
=
α
{\displaystyle A(x)=\alpha }
isə
x
{\displaystyle x}
∈α
A
{\displaystyle A}
yazılır və
x
{\displaystyle x}
-in
A
{\displaystyle A}
qeyri-səlis çoxluğunun
α
{\displaystyle \alpha }
dərəcəsində elementi olduğu deyilir.
Çoxluqlar
Çoxluq — riyaziyyatın əsas anlayışlarından biri; elementləri adlandırılan və hamı üçün ümumi xarakterik bir xüsusiyyətə sahib olan hər hansı bir obyektin dəsti, çoxluğu, toplusu olan riyazi bir obyektdir.
Çoxluqların ümumi xüsusiyyətlərinin öyrənilməsi riyaziyyatın və riyazi məntiqin əlaqəli bölmələri kimi çoxluqlar nəzəriyyəsi ilə də aparılır. Nümunələr: müəyyən bir şəhərin bir çox sakini, davamlı funksiyaları, verilən bir tənliyin bir çox həlli. Bir çoxluq boş və imtiyazsız, sifarişli və nizamsız, sonsuz ola bilər, sonsuz bir çoxluq hesablana və ya sayıla bilməz. Çoxluq anlayışı riyaziyyatın demək olar ki, bütün sahələrində ortaq bir ideologiya və terminologiyadan istifadə etməyə imkan verir.
Çoxluqlar onları təşkil edən elementlərə görə adlanır. Məsələn, natural ədədlər çoxluğu, tək ədədlər çoxluğu və s. Çoxluqlar latın əlifbasının böyük hərfləri ilə işarə edilir. Çoxluğun elementləri "{}" daxilində yazılır.
Məsələn:
A={a,ı,o,u,e,ə,i,ö,ü}
C={2;4;6}
Elementin çoxluğa daxil olması "∈" işarəsinin köməyilə yazılır.
Çoxluqlar nəzəriyyəsi
Çoxluqlar nəzəriyyəsi – riyaziyyatın çoxluqların ümumi xassələrini öyrənən bölməsi. Bir çox riyazi fənlər, o cümlədən cəbr, riyazi analiz, ölçü nəzəriyyəsi, stoxastik və topologiya çoxluq nəzəriyyəsinə əsaslanırlar. Əsası alman riyaziyyatçısı Qeorq Kantor tərəfindən qoyulmuşdur.
Hər hansı bir çoxluğu təşkil edən obyektlərə bu çoxluğun elementi deyilir. Çoxluqlar böyük hərflərlə, çoxluğun elementləri isə uyğun kiçik hərflərlə işarə olunur.
Çoxluq nəzəriyyəsində
a
∈
A
{\displaystyle a\in A}
münasibəti o deməkdir ki,
a
{\displaystyle a}
A
{\displaystyle A}
çoxluğunun elementidir. Bunun inkarı isə
a
∉
A
{\displaystyle a\notin A}
kimi işarə edililirlər. Bu münasibət isə onu göstərir ki,
a
{\displaystyle a}
A
{\displaystyle A}
çoxluğunun elementi deyil.
Bir çoxluq
A
{\displaystyle A}
digər çoxluğun
B
{\displaystyle B}
o vaxt altçoxluğu adlanır ki,
A
{\displaystyle A}
çoxluğuna aid olan ixtiyari element həm də
B
{\displaystyle B}
çoxluğunun elementi olsun.
B
{\displaystyle B}
o zaman
A
{\displaystyle A}
-nin üstçoxluğu adlanır.
